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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.8. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
b) f(x)={2x+1 si x≤1x2+2 si x>1;x0=1f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ x^{2}+2 & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.

Respuesta

Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=1 x_0 = 1 :
Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=1 x = 1 : a) f(1)=3 f(1) = 3 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a 11. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
 lim⁡x→1−(2x+1)=3 \lim_{{x \to 1^-}} (2x + 1) = 3
lim⁡x→1+(x2+2)=3 \lim_{{x \to 1^+}} (x^2 + 2) = 3  

Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale 33. c) El límite cuando xx tiende a 11 existe y vale lo mismo que f(1)f(1), por lo tanto, ff es continua en x=1x=1

Estudiamos ahora derivabilidad\textbf{derivabilidad} en x0=1 x_0 = 1 : Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener f′(1)f'(1), ya que queremos calcular la derivada justo en el xx donde la función se parte. f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}

Nuevamente, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

Para el límite por izquierda cuando h→0− h \to 0^- :
lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0−2(1+h)+1−3h=2hh=2 \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{2(1 + h) + 1 - 3}{h} = \frac{2h}{h} = 2
Para el límite por derecha cuando h→0+ h \to 0^+ :

lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0+(1+h)2+2−(12+2)h=lim⁡h→0+1+2h+h2+2−1−2h=lim⁡h→0+2h+h2h=lim⁡h→0+(2+h)=2 \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{(1 + h)^2 + 2 - (1^2 + 2)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{1 + 2h + h^2 + 2 - 1 - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} (2 + h) = 2

Los límites por derecha y por izquierda coinciden y valen 22, por lo tanto,
f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=2 f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = 2
Esto significa que ff es derivable en x=1x=1 y f′(1)=2f'(1) = 2
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ExaComunidad
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Matias
6 de abril 23:55
flor, xq a la hora de ver la derivabilidad no usas solo la primer expresion? si 0 es menor o igual que uno, o vos estas tomando el Xo a la hora de elegir?
0 Responder
Flor
PROFE
7 de abril 9:22
@Matias Mati, buenísima tu pregunta y es una duda muy común. Fijate que nosotros estamos evaluando ff en 1+h1 + h. 

Imaginate que hh tiende a cero por derecha (algo como un 0.0000...1) , entonces adentro de ff nos quedaría algo así como: 1 + 0.00000...1, es decir, un número un poco más grande que 11, por eso si hh tiende a cero por derecha, tenemos que usar la expresión que vale para los xx mayores a 1.

En cambio, si hh tiende a cero por izquierda (algo como un -0.0000...1) , adentro de ff tendríamos algo como esto: 1 - 0.0000...1, es decir, ahora un número un poquito más chico que 1, por eso si hh tiende a cero por izquierda, usamos la expresión que vale ahora para los xx menores a 1.

Avisame porfa si no termina de cerrar y lo seguimos viendo, porque esto es re importante que quede claro!
0 Responder
Matias
10 de abril 14:46
ahhh,claro sisi entendí
0 Responder